Design theory by Thomas Beth, D. Jungnickel, H. Lenz

By Thomas Beth, D. Jungnickel, H. Lenz

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Alors x est combinaison linéaire des vecteurs xi pour i dans I . 30 c Hachette Livre – H-Prépa Exercices, Maths La photocopie non autorisée est un délit 2. COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE • Base La famille (xi )i ∈I est une base de E si elle est libre et génératrice. La famille (xi )i ∈I , est une base de E si, et seulement si, tout vecteur x de E s’écrit de manière unique x = ai xi où (ai )i ∈I i ∈I est une famille de K(I ) . Les scalaires ai pour i dans I sont les coordonnées ou les composantes du vecteur x.

Fn ). Le dual d’un espace vectoriel V dont une base est B sera noté V ∗ , et B∗ sera la base duale de B ; cette base B elle-même sera dite préduale de B ∗ . Soit D l’opérateur de R [X] dans lui-même qui, à toute f appartenant à R[X], associe D( f ) telle que, pour tout x de R : (D f )(x) = f (x + 1) − f (x). On pose D0 = D p+1 = D p ◦ D. I , et pour tout entier p > 0, c Hachette Livre – H-Prépa Exercices, Maths La photocopie non autorisée est un délit 2. COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE Soit D l’opérateur de dérivation sur R[X] tel que, pour tout réel x : df (x).

1, à On considère la matrice, définie par blocs : A B M= . −B A On pose, en blocs, P = In iIn In . −iIn a) Montrer que la matrice P est inversible et donner son inverse. b) Calculer la matrice P −1 M P. c) Quelle relation en déduit-on pour Det(M) ? 2* Soit A, B, C et D quatre matrices de Mn (C). On considère la matrice de M2n (C) définie par A B M= . C D a) Montrer que si A est inversible, on a : DetM = DetA. Det(D − C A−1 B). b) On considère N = DetA DetC DetB . DetD Montrer que, si M est de rang n, la matrice N est de déterminant nul.

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