Complex Analysis I by Berenstein C.A. (ed)

By Berenstein C.A. (ed)

Lecture notes in arithmetic No.1275

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Dieses tiefe Geheimnis bleibt all denjenigen verborgen, die nur in positiven Frequenzen denken können. h gibt, der daher rührt, daß die Jntervallgrenzen unvcriindert bleiben. Sollte die Funktion f(t) bereits Tenne der Form coswot bzw. sinwot enthalten, so werden in der Fouriertransformierten die neuen Linienpositioncn bei wö eu = a . wS 1t liegen. hF (~tt. 3 (Faltung). J +00 f{t) ® g(t} " Od'. 34) -00 Beachten Sic das ]\\'Iinuszeichen im Argument von g(t). Dic Faltung ist kommutativ, distributiv und assoziativ.

62) 1 . 21Tkf. - Slll--. ion ist die Partialsummcndarstellung der Einheitsstufe. In Abb. 13 sind ein paar Näherungen dargestellt. In Abb. 14 ist die 49. Pal'tialsumme dargestellt. rv[an sieht, daß die Einheitsstufe zwar schon ziemlich gut appl'Oximiert wird, in der Nähe der -, T N = 1 N ~2 N =3 N~4 Abb. 13. sstllfe 30 1 Fourierreihen 'V 'J' 2 t Abb. 14. Partialsummcndarstellung der Einhcitsstufe für N = 49 Stufe gibt es aber Über- und Unterschwinger. In der Elektrotechnik kennt man dieses Phänomen bei Filtern, die sehr steile Flanken haben: das Signal "klingelt" (englisch: "ringing").

L lllktioll ist! Will mall diese Eigenschaft "retten", so sollte man lieber das Quadrat des Betrages darstellen: lF(wW = 1/(>.. 2 + w2 ) ist wieder eine Lorentz-Funktion. Diese Darstellung wird oft auch Neudeutsch "Power-Darstellung" genannt: lF(wW = (Realteil)2 + (Imagillärteil)2. h. in "Resonanz", einen Nulldmchgang. Warnung: Die Darstellung des Betrages wie auch des Betragsquadrates macht die Linearität der Fouriertransformation zunichte! Re{F(w)) Im{F(w)) w w Abb. 7. 2 +w2 J +00 +2 " wsinwt dw ,\2 +w2 } .

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