Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis: Erster Band: Reihen by G. Pólya, G. Szegö (auth.)

By G. Pólya, G. Szegö (auth.)

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A. > 0. A. = oo. 2*. 20 Die Struktur reeller Folgen und Reihen. 113. Man zeige, daB logm . - - =A.. hmsup1 og rm m-+oo + 114. Es seien x 11 x2, x3 , ••• , Xm, ... beliebige reelle Zahlen, Xm 0. Existiert eine positive Distanz lJ derart, daB Ix1- xk! > (J, falls l < k, l, k = 1, 2, 3, ... , so ist der Konvergenzexponent der Betriige I X1 1, Ix2 1, IX 3 l, ... , IXm 1.... hOchstens 1. 115. Es sei {J groBer als der Konvergenzexponent der Folge r11 r 2 , r 3 , ••• , rm, ... ; dann gibt es unendlich viele Indices n, so bescha:ffen, daB die n- 1 Ungleichungen (2)1 n (n-n )1 1 rn- 1 r2 --I' ...

Unter ihrem arithversteht man den Ausdruck ~(a) = a1 + a2 + ··· + an . n Sind samtliche Zahlen av a2 , ••• , an positiv, so definiert man ihr geometrisches und harmonisches Mittel bzw. durch Bezeichnet m die kleinste, M die groBte der Zahlen a1, a2 , •• • , an, so ist m<@(a) 0 vorausgesetzt. Die drei Zahlen ~(a), @(a), stellen also Mittelwerte von a1 , a2 , •• • , an dar. Das Gleichheitszeichen kann in diesen Ungleichungen nur dann eintreten, wenn samtliche ap untereinander gleich sind.

H. n und k erfiillt sein. Es sei femer lim ank = ak n~oo vorhanden fiir k = 0, 1, 2, .... Dann ist die Reihe a 0 + a1 konvergent, und es ist + a2 + · · · + ak + · · · = limsn = s. n~oo s aile Werte von I. , Kap. 4: §2, Nr. 176-185. 33 181. Man rechtfertige die Grenzi'lbergange in 53 und 59. 182. l;v"'- 1 (n"'-v"')-2"'-" _ _ ~ . 3 v=l In der Summation ist das sinnlose Glied mit dem Index v = n wegzulassen, was durch das Komma am Summationszeichen angedeutet ist. - Man beachte den Fall 1X = 1. 183.

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