Analysis Band 2: Ein Lernbuch by Ehrhard Behrends

By Ehrhard Behrends

Das Buch ist im Stil der research 1 geschrieben: Alles wird sehr ausführlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders extensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem üblichen Stoff einer research 2 (Funktionenräume, Integration, Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen) enthält das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden können. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise für konkrete Zahlen - unter anderem für die Zahl e - geführt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindelöf behandelt. Und schließlich gibt es noch einen ausführlichen Anhang zum Thema "Englisch für Mathematiker": used to be muss guy beachten, wenn guy sich auf Englisch über Mathematik unterhalten möchte? In der 2. Auflage wurde der textual content an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt überarbeitet.

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G¨ abe es kein ε-Netz, so w¨ are f¨ ur jedes m ∈ N und jede Auswahl von Elemenm K; man k¨onnte dann induktiv ten x1 , . . , xm ∈ K notwendig i=1 Kε (xi ) ur i = j: eine Folge (xn )n∈N konstruieren, so dass d(xi , xj ) > ε f¨ W¨ ahle x1 ∈ K beliebig. Nach Annahme ist Kε (x1 ) / Kε (x1 ). Das bedeutet d(x1 , x2 ) > ε. x2 mit x2 ∈ K, es gibt also ein Auch Kε (x1 ) ∪ Kε (x2 ) ist eine echte Teilmenge von K. So finden wir x3 mit x3 ∈ / Kε (x1 ) ∪ Kε (x2 ), es gilt also d(x1 , x3 ), d(x2 , x3 ) > ε. Und so weiter.

2. Abz¨ ahlbare Vereinigungen solcher kleinen“ Mengen k¨onnen schon wesentlich ” umfangreicher sein. So ist zum Beispiel Q in R als abz¨ahlbare Vereinigung einpunktiger Mengen von erster Kategorie. Cantorsches Diskontinuum 3. Es ist gar nicht so einfach, sich eine Teilmenge von R von erster Kategorie vorzustellen, die nicht abz¨ ahlbar ist. So etwas gibt es aber, das bekannteste Beispiel ist das so genannte Cantorsche Diskontinuum D. Diese Menge ist so definiert: Man starte mit dem Intervall [ 0, 1 ] und entferne daraus zun¨ achst ] 1/3, 2/3 [.

8 (Arzela aquivalent (i) Φ ist kompakt. (ii) Φ ist beschr¨ankt, abgeschlossen und gleichgradig stetig. Beweis: (i) ⇒ (ii): Sei Φ ⊂ CK kompakt. 2), bleibt nur die gleichgradige Stetigkeit bei allen x0 ∈ K zu zeigen. Das geht am leichtesten indirekt. Wir nehmen also an, dass es ein x0 ∈ K und ein ε0 > 0 gibt, so dass ∀∃ ∃ δ>0 f ∈Φ |f (x) − f (x0 )| > ε0 . x∈K d(x,x0 )≤δ Dann gibt es insbesondere zu δ = 1/n f¨ ur n ∈ N Funktionen fn ∈ Φ und Elemente xn ∈ K mit |fn (xn ) − fn (x0 )| > ε0 . Nun ist Φ kompakt nach Voraussetzung, also gibt es eine Teilfolge (fnk )k∈N der (fn ) und ein f ∈ Φ mit fnk → f gleichm¨ aßig.

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