# Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster

By Otto Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren.

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Extra info for Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 10. Auflage

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4 Folgen, Grenzwerte 41 Satz 8 (Reziprokes einer bestimmt divergenten Folge). Die Folge (an )n∈N sei bestimmt divergent gegen +∞ oder −∞. Dann gibt es ein n0 ∈ N, so dass an = 0 f¨ur alle n n0 , und es gilt 1 = 0. lim n→∞ an Beweis. Sei liman = +∞. Dann gibt es nach Deﬁnition zur Schranke K = 0 ein n0 ∈ N mit an > 0 f¨ur alle n n0 . Insbesondere ist an = 0 f¨ur n n0 . Wir zeigen jetzt lim(1/an) = 0. Sei ε > 0 vorgegeben. Da lim an = ∞, gibt es ein N ∈ N mit an > 1/ε f¨ur alle n N. d. ¨ Der Fall lim an = −∞ wird durch Ubergang zur Folge (−an ) bewiesen.

A1 a2 a3 . . am := m ∑ aμ · 2−μ, aμ ∈ {0, 1}, μ=0 ist die sog. Mantisse, die man f¨ur x = 0 durch geeignete Wahl des Exponenten im Bereich 1 ξ < 2 annehmen kann, was gleichbedeutend mit a0 = 1 ist. Der Exponent r wird nat¨urlich auch bin¨ar mit einer begrenzten Anzahl von Bits gespeichert. Um nicht das Vorzeichen von r eigens abspeichern zu m¨ussen, schreibt man r in der Form r = e − e∗ mit einem festen Offset e∗ > 0 und e= k−1 ∑ eν · 2ν ν=0 0, eν ∈ {0, 1}. H¨auﬁg werden insgesamt 64 Bits zur Darstellung einer reellen Zahl verwendet (Datentyp DOUBLE PRECISION in F ORTRAN oder double float in 1 Statt Gleitpunkt sagt man auch Fließpunkt oder Fließkomma, engl.

7) F¨ur jede reelle Zahl x hat man die Folge ihrer Potenzen: (xn )n∈N = (1, x, x2 , x3 , x4 , . . ) . Deﬁnition. Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a ∈ R, falls gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass |an − a| < ε f¨ur alle n N. Man beachte, dass die Zahl N von ε abh¨angt. Im Allgemeinen wird man N umso gr¨oßer w¨ahlen m¨ussen, je kleiner ε ist. Konvergiert (an ) gegen a, so nennt man a den Grenzwert oder den Limes der Folge und schreibt lim an = a oder kurz n→∞ lim an = a .