Analysis 1 by Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

By Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

Dieses Lehrbuch ist der erste Band einer dreiteiligen Einf?hrung in die research. Es ist durch einen modernen und klaren Aufbau gepr?gt, der versucht den Blick auf das Wesentliche zu richten. Anders als in den ?blichen Lehrb?chern wird keine k?nstliche Trennung zwischen der Theorie einer Variablen und derjenigen mehrerer Ver?nderlicher vorgenommen. Der Leser soll in dem Erkennen der wesentlichen Inhalte und Ideen der research geschult werden und sich ein solides Fundament f?r das Studium tieferliegender Theorien erwerben. Das Werk richtet sich an H?rer und Dozenten der Anf?ngervorlesung der research. Durch zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Erg?nzungen zum ?blichen Vorlesungsstoff ist der textual content ausserdem zum Selbststudium, als Vorlage f?r vertiefende Seminare und als Grundlage f?r das gesamte Mathematik- bzw. Physikstudium geeignet.

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Wo f¨ anden dann aber die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, . . ihren Platz in N? Wir wollen uns deshalb in diesem Paragraphen weiter mit unendlichen Mengen“ befassen und insbesondere aufzeigen, daß eine Diffe” renzierung im Bereich des Unendlichen“ m¨ oglich ist. ” Eine Menge X heißt endlich, falls X leer ist, oder falls es ein n ∈ N× und eine Bijektion von {1, . . , n} auf X gibt. Ist eine Menge nicht endlich, so heißt sie unendlich. 1 Beispiele (a) Die Menge N ist unendlich. Beweis Wir nehmen an, N sei endlich.

Fn (n) = Vn+1 fn+1 (0), . . , fn+1 (n) . Dies beweist den Induktionsschluß n → n + 1, und zeigt somit die Existenz der Abbildungen fn f¨ ur alle n ∈ N. (c) Nach diesem vorbereitenden Schritt definieren wir nun f : N → X durch f:N→X , f (n) := a, fn (n) , n=0, n ∈ N× . Aufgrund der in (b) bewiesenen Eigenschaften der Abbildungen fn finden wir f (n + 1) = fn+1 (n + 1) = Vn+1 fn+1 (0), . . , fn+1 (n) = Vn+1 f0 (0), . . , fn (n) = Vn+1 f (0), . . , f (n) . Damit ist alles bewiesen. 12 Beispiel Es bezeichne eine assoziative Verkn¨ upfung auf einer Menge X und es seien xk ∈ X f¨ ur k ∈ N gegeben.

Diese Schrift so abgefaßt zu haben, daß ein normaler Student sie in zwei ” Tagen lesen kann“. 3 ziemlich genau ein Achtel der Seiten des Landauschen B¨ uchleins f¨ ullt. 36 I Grundlagen Offensichtlich geh¨ ort 0 zu N . 2), daß 0 ν(n) = ν(0 n) = ν(n) gilt. Also geh¨ ort auch ν(n) zu N . , es gilt 0 n=n, n∈N. 4) erf¨ ullt. F¨ ur ein frei gew¨ ahltes ( festes“) n ∈ N setzen wir ” M := { m ∈ N ; m n=m n} . 4), daß 0 n = n gilt. h. 0 ∈ M . Es sei nun m ∈ M . 4). Also geh¨ ort auch ν(m) zu M , und (N1 ) impliziert M = N.

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